韩雪涛

诚如一切科学的产生一样，数学产生于人类社会的实践，而得益于人类独特的发达的大脑。伴随着生产、生活的需要，模糊的数、形的概念，在原始人头脑中日渐形成了。这个过程恐怕是很漫长的吧。人们先认识了与实体相联系的抽象的数，如提及一、二、五时，他们脑海中浮现出的是与之对照的实物：一个人、二只手、五个手指之类。再往后，与实体相脱离的真正抽象的数才被确定下来。这时最早的数学分支之一“算术”产生了。与此进程平行，人类在实践中也逐渐意识到形的概念。于是几何学知识也日渐积累起来。在我国，早在西周时期，我们的祖先就已获得了许多这方面的感性认识。对著名的勾股定理的认识就可上推到这一时期。但这时，人们对这些知识的认识大都还是感性的、零散的，还没有上升为系统的科学。这一转变完成于古希腊。一方面，代数学鼻祖丢番图的《算术》标志着算术向初等数学的转变，而进一步的转变一直到韦达才真正完成。用字母代替具体数字，字母间的运算代替数字间的运算，这是算术向代数转变所完成的本质的、关键的一步。而这也同时意味着数学在抽象性上又向前迈进了一步。在另一方面，欧几里得的《几何原本》才真正地在数学发展史上树起第一块伟大的丰碑。不知有多少后人曾对着这座富丽堂皇的数学殿堂拱手膜拜，以至于不少哲学家都要把它供奉为绝对正确认识的楷模与典范。于是在非欧几何诞生前，它被带了耀目的“绝对真理”的光环。

到这时，数和形的基本概念在数学园地中已深深扎下了根，而此后数学的进一步发展，就是以数形为主旋律奏响的。

早期的代数、几何，基本上是独立发展的，直到17世纪，法国数学家笛卡尔才在两者之间搭起友谊之桥：解析几何。解析几何用代数方法研究几何问题，一方面使代数、几何密切了联系，相互促进了彼此的发展。另一方面也使人们的耳目为之一新。与此同时，变量的概念被引入了。而正因这变量的引入，运动的观念进入了数学，而这终于导致了数学史上的一次真正的革命：微积分在牛顿、莱布尼兹手中诞生了。微积分一出现，就成为数学家手中无比锐利的工具。伴随它产生了一系列的研究函数的数学分支。常微分方程、偏微分方程是其中最重要的内容。但是，产生于牛顿、莱布尼兹手中的微积分是先天不足。十九世纪在德国数学家的倡导下对其进行了一场批判性的检查运动。经过柯西、维尔斯特拉斯、康托尔等人的努力，终于使其奠定了坚实的基础。而使其在数学中占有了崇高的一席之地。分析、代数、几何三足鼎立，成了数学的三大基础，即旧三基。

自然，与上述进程平行的阶段上，代数与几何的发展并未停滞。事实上，从欧洲文艺复兴以来，它们一直大踏步地前进着。

非欧几何的创立，是几何学上的一次革命。它不仅摘掉了带在欧氏几何颈上的绝对真理的光环，而且对人们的观念造成了极大的冲击。相对论的创立也得益于此。作为欧氏几何更高程度上的延拓，射影几何、位置几何（或称拓扑几何）也先后诞生并获得了极大发展。

代数方面，人们不再满足于字母间的运算，而把兴趣转到对行列式、矩阵、二次型的研究上来。这就完成了初等代数向高等代数的转化。而代数学方面最大的变革却来自天才数学家，被视为数学疯子的伽罗华所创立的群论。当时，过早的抽象落到了聋子的耳朵里，甚至连当时最伟大的数学家柯西、高斯都未能理解他的思想。但他的深邃思想却对现代数学的发展产生了不可估计的影响。他的群论观点，宣布了抽象代数的诞生。而今，抽象代数研究的课题已包括群论、环论、域论、格等，而成为现代数学的新三基之一。

与此同时，旧三基之间互相渗透又产生出一系列分支，如代数几何、微分几何等。

回视数学的发展历史，不难发现如其它科学的发展一样，数学的发展并不呈直线发展，而是近乎于以指数曲线迈进。

数学的萌芽时期，经历了最为漫长、久远的时代，而成果仅是些零散琐碎的算术、几何知识的积累。从公元前5世纪的古希腊时期开始，经东方时期、欧洲文艺复兴时期，数学的发展逐渐步入了快行道。在代数、几何方面都有大幅度长进。但这已经历了两千年之久啊！18世纪，随着分析方法的产生，数学的发展进一步加速了。这一时期，被称为发明时期，其开创领域之广阔，是前无古人的。数学惊人的新的处女地被垦出来了。但这些工作大都是粗糙的、不严密的。19世纪，经过自我反思的批判运动，数学的基础变得更加坚实牢固。上世纪形成的分支趋于成熟，新颖学科又不断涌现，如实变函数、点集拓扑、抽象代数……而该世纪末，康托尔创立的无穷集合论更为现代数学的发展注入了新的活力。1900年，国际数学大会的召开宣布一个新的纪元开始了。历史步伐跨进了20世纪。数学的发展又获得了长足的进展。实变函数、抽象代数、高等几何很快发展成熟。另一门极富综合性的学科“泛函分析”宣告诞生了。它一问世，就获得迅速发展。很快，它就与高等几何、抽象代数一起，构成了现代数学的新三基。到60年代，数学发展又经历了几次大的突破。模糊数学、突变理论、非标准分析先后问世，使数学内容更加精彩纷呈。尤其是模糊数学从问世到现在不足几十年的时间就已渗透入几乎所有的数学分支，大大推动了数学的进一步发展。

与理论数学的发展相对照，20世纪应用数学亦获得长足发展。产生于十八世纪的概率论，要此世纪又产生出新的数理统计，而后者已在极广泛的社会领域内大显身手了。